3 ニュートンの運動方程式

粒子（または質点、または原子）のニュートンの運動方程式

$$m\frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2} = \vec{F}(x,t)$$ (3)

上記は、ベクトルを3次元ベクトルとすると3次元モデル

1次元のモデル

$$m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x,t)$$ (4)

1次元ばねモデル：ばねモデルは結晶中の原子の振動などのモデルに使われる
ポテンシャルエネルギー

$$U(x) = U_{0} + \frac{1}{2} k x^{2}$$ (5)

力

$$F = - \frac{d U(x)}{d x} = - k x$$ (6)

運動方程式

$$m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = - k x(t)$$ (7)

このようにポテンシャルエネルギーの関数を決めて、 運動方程式を立てる。

問：方程式(14)の一般解を求めることができますか。 解を求めておきましょう。

一般的なポテンシャルエネルギー$U(x)$ の場合は、 運動方程式

$$m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = - \frac{d U(x)}{d x}$$ (8)

となる。

平衡位置でのテーラー展開
平衡位置とは、

$$\left.\frac{d U(x)}{d x}\right\vert _{x=x_{0}} = U^{\prime}(x_{0}) = 0$$ (9)

で定義される。テーラー展開

$$U(x) = U(x_{0})+ U^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2} U^{\prime\prime}(x_{0})(x-x_{0})^{2}$$

$$+\frac{1}{3!} U^{\prime\prime\prime}(x_{0})(x-x_{0})^{3} + \ldots$$ (10)

$$= U(x_{0})+ U^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2} U^{\prime\prime}(x_{0})(x-x_{0})^{2} + o((x-x_{0})^{3})$$ (11)

$$= U(x_{0}) + \frac{1}{2} U^{\prime\prime}(x_{0})(x-x_{0})^{2} + o((x-x_{0})^{3})$$ (12)

摩擦モデル:速度の大きさを小さくする方向へ力を働かせる
例．速度に比例する摩擦力

$$F = - \gamma \frac{d x(t)}{d t}$$ (13)

速度に比例する摩擦力がかかったばねモデル

$$m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = - k x(t) - \gamma \frac{d x(t)}{d t}$$ (14)

問：このようなモデルは，どのような質点の運動に使うことができるだろうか。