4 エネルギー保存則

理解し易くするために、１次元モデルで考える

$$全エネルギー = (運動エネルギー) + (ポテンシャルエネルギー)$$ (15)

$$E = \frac{1}{2} m \left( \frac{d x}{d t} \right)^{2} + U(x)$$ (16)

エネルギー保存則は、その力の性質により、成立するかどうか決まる。 そこで、エネルギー保存則が成立するような力のことを保存力と呼んで いる。

問：式(16)を時間微分することにより、保存することを示せ。

計算機シミュレーションでは、この保存則の存在が非常に重要である。
保存則を用いて、計算精度や計算法(計算アルゴリズム)の良し悪しを判断する場合が多い。

3次元モデルで、保存力のときに、エネルギー保存則が成立することを 式(3)をから出発して示せ。 （保存則の式の導出に挑戦してみよう、多変数の積分や偏微分が必要となるが。）

摩擦力は、時間とともに系のエネルギーが減ってゆくので、エネルギー保存則 が成立しない。

ばねモデルでのエネルギー保存則

ばねモデルの解

$$x(t) = C_{1} \cos{(\omega t)} + C_{2} \sin{(\omega t)}$$ (17)

$$v(t) = \frac{d x}{d t} = \ -C_{1} \omega \sin{(\omega t)} + C_{2} \omega \cos{(\omega t)}$$ (18)

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ (19)

全エネルギー

$$E = \frac{1}{2} m \left( \frac{d x}{d t} \right)^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$$ (20)

この値は、保存(時間に対して値が変化しない)する。

問：式(17)から(19)を代入することにより 式(20)が保存することを示せ。

$C_{1}=x_{0}=1 {\rm m}, C_{2}=0, k=1 {\rm N/m}$ の時の時間変化(図)

2粒子の運動方程式

$$m_{1}\frac{d^2 x_{1}(t)}{dt^2} = F_{12}(x) + F_{\rm ex1}(x)$$ (21)

$$m_{2}\frac{d^2 x_{2}(t)}{dt^2} = F_{21}(x) + F_{\rm ex2}(x)$$ (22)

$F_{12}$ は、粒子2が粒子1におよぼす内力、 $F_{\rm ex1}$ は、粒子1におよぼされる 外力

重心

$$X(t) = \frac{m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}$$ (23)

相対座標

$$x=x_{1}(t)-x_{2}(t)$$ (24)

粒子間の相互作用

$$M\frac{d^2 X(t)}{dt^2} = F_{\rm ex1}(x)+ F_{\rm ex2}(x)$$ (25)

ここで、 $M = m_{1}+m_{2}$
内力は打ち消し合うべきであるので、

$$F_{12}(x)+ F_{21}(x) =$$ 0 (26)

$$F_{12}(x) = - F_{21}(x) \ (作用反作用の法則、ニュートンの第3法則)$$ (27)

3粒子以上の多粒子のモデルは、実習の後で述べる