9.1 補足

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速度に比例する摩擦がある場合のベルレ法

速度に比例する摩擦がある場合は、下記のような方法でその効果をベルレ法に取り入れることもできる。

$\displaystyle m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle F - \gamma \frac{d x}{d t}$

(90)

速度に比例した力が、速度とは逆向きに働く形で入っている。 $\gamma$ は、摩擦の大きさを決めるパラメータである。式(90)をベルレ法つまり式(72)(73)を用いて差分化式にすると

$\displaystyle x(t+\Delta t)$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{2}{1+\eta} x(t) - \frac{1-\eta}{1+\eta} x(t-\Delta t) + \frac{1}{1+\eta}\frac{(\Delta t)^{2}}{m} F(t)$

(91)

となる。ここで、

$\displaystyle \eta$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{\Delta t}{2 m} \gamma$

(92)

である無次元量である。このようにすることで、速度のデータがなくても位置座標の漸化式が計算できる。速度のデータは、もちろん式(73) から計算する。摩擦を導入して粒子の運動を追いかけていくと、エネルギー(

)が考えている系から散逸して、運動エネルギーやポテンシャルエネルギーが徐々に失われて行く。

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