単位系

運動方程式を数値的に解く場合、適切な単位系で計算を行う。
対象とする現象や方程式に依存。基本的に 独立な３種類の物理量の単位量を指定すると、その他の物理量の 単位が自動的に決まる。

原子スケールでの代表的な例
(1) 原子間の運動方程式         原子単位系
(2) 運動方程式の無次元化

(1)

原子単位系 : 原子単位系は、量子力学で用いられる定数を基本に しているので、ここでは概略のみ。

$$エネルギー \qquad \frac{m_{e}e^4}{\hbar^2} = 1\;{\rm Hartree} = 2\times 13.6058{\rm eV}$$

$$= 2\times 13.6058 \times 1.60219 \times 10^{-19}{\rm J}$$

$$= 4.3598\times 10^{-18} {\rm J}$$

$$\quad 時間 \hspace{2cm} \frac{\hbar^3}{m_ee^4} = 2.4189\times10^{-17}{\rm sec}$$

$$\quad 距離 \hspace{2cm} \frac{\hbar^2}{m_ee^2} = a_0(ボーア半径) =\ 0.529177\times10^{-10}{\rm m}$$

$\hbar=\frac{h}{2\pi}$ ( $h=6.62618\times 10^{-34}$ Js： プランク定数),
上記の式ではガウス無理単位系が使われており、
$e^{2}=\frac{q_{e}^{2}}{4\pi \varepsilon_{0}}=2.30686\times 10^{-28}$ Jmとして計算すればよい。

    通常、原子単位系にするには、 $m=e=\hbar=1$ とする。

問：上記の原子単位系を用いて角運動量を計算したところ 得た数値が1であった場合、この数値はＭＫＳ単位系でいくらのことか。

$\vec{\ell}$	$=$	$\vec{r}\times\vec{p} = \vec{r}\times m\vec{v}$
（角運動量）	$=$	（距離）$\times$ （質量）$\times$ （距離）$\times$ $（時間）^{-1}$
	$=$	$\underbrace{\underbrace{（質量）\times （距離）\times（時間）^{-2}}_{力} \times （距離）}_{仕事, エネルギー}$ $\times$ （時間）
	$=$	（エネルギー）$\times$ （時間） $\Rightarrow \frac{m_{e}e^4}{\hbar^2} \times \frac{\hbar^3}{m_{e}e^4}=\hbar$

エネルギー $E[4.3598 \times 10^{-18}{\rm J}]$ 時間 $T[2.4189 \times 10^{-17}{\rm s}]$
角運動量 $ET[4.3598 \times 10^{-18}J \times 2.4189 \times 10^{-17}{\rm s}]=ET[\underbrace{1.05459 \times 10^{-34}}_{\hbar=\frac{h}{2\pi}}{\rm Js}]$


問：光速は、MKS単位系で2.997925$\times$ 10$^{8}$ m/sである。 原子単位系ではいくつになるか。

(2)

運動方程式の無次元化
運動方程式の変数を単位をうまくとることにより、無次元変数にできるときは 無次元化する。同種粒子のMDの場合など。
例：LJ(レナード・ジョーンズ)ポテンシャル

$$\phi(r) = 4\varepsilon\left\{\left(\frac{\sigma}{r} \right)^{12} -\left(\frac{\sigma}{r} \right)^6 \right\}$$

$\left. \begin{tabular}{lc} エネルギー & $\varepsilon$ \\ 距離 & $\sigma$ \\ 時間 & $\tau$ \end{tabular} \right)$

を単位にして計算する。運動方程式中の変数について

$t=t^{\prime}[\tau]=t^{\prime}\tau$

$r=r^{\prime}[\sigma]=r^{\prime}\sigma$

$U=U^{\prime}[\varepsilon]=U^{\prime}\varepsilon$

時間の単位[$\tau$ ]については、次ぎのように決定することができる。

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$	$=$	$\vec{F}$
	$=$	$-\frac{\partial U}{\partial \vec{r}}$
$m\frac{1}{\tau^2}\frac{d^2}{dt^{\prime}}\sigma\vec{r}^{\prime}$	$=$	$-\frac{\partial U^{\prime}}{\sigma \partial \vec{r}^{\prime}} \varepsilon$
$\frac{d^2\vec{r}^{\prime}}{dt^{\prime}}$	$=$	$\frac{\tau^2}{m\sigma}\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right) \left(-\frac{\partial U^{\prime}}{\partial \vec{r}^{\prime}}\right)$
$\underbrace{\frac{d^2\vec{r}^{\prime}}{dt^{\prime}}}_{無次元量}$	$=$	$\underbrace{\frac{\tau^2\varepsilon}{m\sigma^2}}_{無次元量} \underbrace{\left(-\frac{\partial U^{\prime}}{\partial \vec{r}^{\prime}} \right)}_{無次元量}$

$\frac{\tau^2\varepsilon}{n\sigma^2}=1$ となるように$\tau$ の単位を決める。

$\left\{ \begin{tabular}{l} $\tau=\sqrt{\frac{m\sigma^2}{\varepsilon}} =\sqr... ...frac{\partial U^{\prime}}{\partial \vec{r}^{\prime}}$ \end{tabular} \right.$


問：速度の単位量を求めよ。