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基本並進ベクトル, 逆格子ベクトル

基本並進ベクトル $\vec {a},\vec {b}, \vec {c}$ を次のようにとる。
図

この時、セル中の原子位置を $\vec {a},\vec {b}, \vec {c}$ を用いて表すことができる。

番目の原子座標

$\displaystyle \vec{r}_{i}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle S_{a}\vec{a} + S_{b}\vec{b} +S_{c}\vec{c}$	(144)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle S_{1}\vec{a}_{1} + S_{2} \vec{a}_{2} +S_{3}\vec{a}_{3}$	(145)

$\displaystyle 0\leq S_{1} < 1, 0\leq S_{2}<1, 0\leq S_{3}<1$

(146)

イメージセル中の原子

$\displaystyle \vec{r}_{\nu i}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vec{r_{i}} + \vec{R_{\nu}}$	(147)
$\displaystyle (並進ベクトル) \vec{R}_{\nu}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \nu_{1}\vec{a}_{1} + \nu_{2}\vec{a}_{2} +\nu_{3}\vec{a}_{3} \nu_{1},\nu_{2},\nu_{3}:整数$	(148)

（結晶の場合は格子ベクトルとも呼ぶ）

逆格子ベクトル（逆格子空間の並進ベクトル）
$\Omega = \vec{a}_{1}\cdot \left( \vec{a}_{2} \times \vec{a}_{3} \right)$ とすることで、基本ベクトルを次のように定義する。

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{c c l} \vec{b}_{1} & = & \frac{2\pi}{\O... ...left( \vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2} \right) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(149)

$\Omega$ は基本セルの体積である。
逆格子ベクトル

$\displaystyle \vec{G}_{\mu}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \mu_{1} \vec{b}_{1} + \mu_{2} \vec{b}_{2} + \mu_{3} \vec{b}_{3}$

(150)

逆格子空間中の任意の点

$\displaystyle \vec{k}_{\mu}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \vec{k} + \vec{G}_{\mu}$

(151)

実空間の基本ベクトルとの関係

$\displaystyle \vec{a}_{1} \cdot \vec{b}_{1} = \vec{a}_{2} \cdot \vec{b}_{2} = \vec{a}_{3} \cdot \vec{b}_{3} = 2\pi$

(152)

$\displaystyle \vec{a}_{1} \cdot \vec{b}_{2}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \vec{a}_{1} \cdot \vec{b}_{3} = \vec{a}_{2} \cdot \vec{b}_{3} = \... ...\vec{b}_{1} = \vec{a}_{3} \cdot \vec{b}_{1} = \vec{a}_{3} \cdot \vec{b}_{2} = 0$

(153)

これをまとめると次のように書ける。

$\displaystyle \vec{a}_{i} \cdot \vec{b}_{j} = 2\pi \delta_{ij}$

(154)

逆格子ベクトルはフーリエ変換をする時に実空間と逆格子空間とのベクトルの内積が単純になり計算が容易になる。

実空間の変数を持つ関数が基本並進ベクトル分の移動に対して不変な場合、つまり

$\displaystyle F ( \vec{r} + \vec {R}_{\nu} ) = F (\vec{r} )$

(155)

を満たす場合、関数

は逆格子ベクトル $\vec{G}_{\mu}$ を用いて、

$\displaystyle F ( \vec{r})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{\mu} f(\vec{G}_{\mu}) e^{i \vec{G}_{\mu} \cdot \vec{r}}$	(156)
$\displaystyle f(\vec{G}_{\mu})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{\Omega_{c}}\int_{\rm cell} F ( \vec{r}) e^{-i \vec{G}_{\mu} \cdot \vec{r}} d\vec{r}$	(157)

のようにフーリエ分解することができる。ただし、 $\Omega_{c}$ セルの体積。実際に周期性を調べてみると

$\displaystyle F (\vec{r} + \vec {R}_{\nu} )$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \sum_{\mu} f(\vec{G}_{\mu} ) e^{i \vec{G}_{\mu} \cdot (\vec{r} + ... ...}=\sum_{\mu} f(\vec{G}_{\mu} ) e^{i \vec{G}_{\mu} \cdot \vec{r}}= F ( \vec{r} )$

(158)

となることが分かる。ここで、位相部分の内積を計算すると

$\displaystyle \vec{G}_{\mu} \cdot \vec{R}_{\nu}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle ( \mu_1 \vec{b}_1 + \mu_2 \vec{b}_2 +\mu_3 \vec{b}_3) \cdot ( \nu_1 \vec{a}_1 + \nu_2 \vec{a}_2 +\nu_3 \vec{a}_3)$	(159)
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2 \pi ( \mu_1 \nu_1 + \mu_2 \nu_2 +\mu_3 \nu_3 ) = 2 \pi \times (整数)$	(160)

となっていることを用いた。

問：式(156)と(157)は、１次元の場合、

$\displaystyle F (x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{\mu} f(G_{\mu}) e^{i G_{\mu} x}$	(161)
$\displaystyle f(G_{\mu})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{L_{x}}\int_{0}^{L_{x}} F (x) e^{-i G_{\mu} x} dx$	(162)

と書くことができる。式(161)から(162)を示せ。

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